0/1 Knapsack Problem 、Fractional Knapsack Problem

第 12 屆 iThome 鐵人賽

DAY 14

自我挑戰組

學習筆記系列第 19 篇

12th鐵人賽

tedtedtedtedted

2020-09-14 23:54:09

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記錄學習內容。看網路上大大們的文章和影片，做些紀錄。
還不太了解，內容可能有錯誤。

教學來源(這3篇教學一起看，以下筆記和截圖來自這3篇教學):

用動態規劃解決問題：零壹背包問題(0/1 Knapsack Problem)

0/1 Knapsack Problem

4.5.1 0/1 Knapsack Problem (Program) - Dynamic Programming

筆記

1

背包問題，背包只能裝重量 max_weight = 1000公克
現在有4個東西 :
A 1200元， 200公克
B 1500元， 500公克
C 1500 元，300公克
D 4000元， 850公克
要在小於背包裝的重量(1000公克之內) ，裝最大價值($$$$)

2

一開始想法會是，看每個東西的 1公克值多少錢，然後錢錢由大排到小。
所以:
A 6元， 1公克
B 3元， 1公克
C 5 元，1公克
D 4.7元， 1公克

先選A 在選 C ，在選 D ，在選B
200公克 + 300公克 + 850公克 + 500公克

但是這邊是 0/1 Knapsack Problem 問題，0/1就是物品只能選或不選。
所以這樣會不好判斷，如果選了 A、C 、D
200+ 300 +850 = 1350 > 背包重量1000

所以0/1問題不能用 Greedy approach ，這邊的解釋很清楚:

DAA - 0-1 Knapsack(截圖來自這篇教學)

如果背包重量60kg，給了ABC三樣東西，要在不超過背包重量的情況下，放東西到$$$最多。

如圖，價值依序是 10 > 7 >6 ，所以先選A ，在選B，在選C 。

選了A ，選了B 之後的價值會變成 100+280 =380$$$ 。重量會是10 +40=50
，所以就不能在選C了。所以最大$$$就會是380$$$

這樣就可以看出0/1問題不能用Greedy approach了。
因為選B和C 價值更高!!!
B+C 的價值為 280+ 120 = 400 >380!!!

3 繼續看0/1 問題怎麼解決

代表每個物品的價值:

int val[] = new int[] { 60, 100, 120 };

代表每個物品的重量:

int wt[] = new int[] { 10, 20, 30 };

背包重量:

int W = 50

如果物品的重量大於背包重量。跳過。到剩餘物品的背包問題(遞迴繼續)。

如果物品的重量小於背包重量。
會有兩種情況 :
1 選擇這個物品到背包 : 所以總價值會變成-- >這個物品的價值 + 剩餘物品的背包問題(遞迴繼續) 。然後總重量記的要扣掉該物品的重量。
2 不選擇這個物品 -- >剩餘物品的背包問題(遞迴繼續)

這種選或不選的問題通常長這樣 :
往左邊是不選這個物品，往右邊是選這個物品。
然後這種問題的時間複雜度通常是O(2^n) ，簡單的記法就是
1個func 生成 2個func 。
然後通常這種問題，都會重複計算，所以可以用動態規劃的方法。

選或不選的問題，跟數學有關:
高一下數學2-3A觀念04係數性質的內涵
https://www.youtube.com/watch?v=ZJ1_bf3lheg&list=PLZruNYXiv2mB2VTi8erx5p9p1Z5mQHkR6&index=127&ab_channel=%E5%91%82%E5%86%A0%E7%B7%AF

接著來看，動態規劃的方式怎麼寫:

用了一個二維陣列 int [物品個數][ 總重量]

這邊有舉例 int [物品個數][ 總重量]
物品個數就是縱坐標 0 1 2 3 , 橫坐標是重量 1 到總重量。
這邊只寫到6 ，先把它想成50kg這樣，應該比較好理解:

這邊會變成 button –up ，一般迴圈的方法。
所以程式寫法會是

int K[][] = new int[物品個數][ 背包總重量50kg];
For   0…物品個數 (i)
	For   0…背包總重量50kg (w)
		IF ( 物品重量 (10) <= w (10) )
			k[物品][w]  = MAX (val[物品] + K[物品- 1][w - wt[物品]] ,  K[物品-1][w] ) 
		 else  //如果物品重量 大於 現在重量 ，就不能放 ，所以價值維持上一個物品的
                   			K[i][w] = K[i - 1][w];

這邊的時間複雜度，就會是物品個數 * 背包總重量
空間複雜度，就是二維陣列的size -- >物品個數 * 背包總重量

這個方法是迴圈和陣列。
或者也可以用recursion + memoization = DP(遞迴和陣列的方式)。教學文章裡有教，跳過。

這個看不太懂 :